Le grand mathématicien français, Jacques Hadamard, considérait qu’aussi compliqué que puisse être un raisonnement mathématique, il devait apparaître comme une chose unique. « Je considère ne pas l’avoir compris tant que je ne suis pas parvenu à le saisir (une succession d’inférences) en une seule idée globale » affirmait-il.
Afin d’illustrer son propos, nous nous inspirerons du chapitre « Cause et effet » tiré du livre « The Way we think » de Gilles Fauconnier et de Mike Turner.
Considérons donc le théorème de Pythagore selon lequel le carré de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à la somme des carrés de chacun des deux autres côtés, soit :
h² = a² + b²
Ce que nous dit Gilles Fauconnier, c’est que la simple représentation d’un triangle rectangle ne permet pas d’entrevoir la démonstration de ce théorème.
Même si ce théorème peut être démontré algébriquement par étapes, une représentation visuelle est beaucoup plus parlante.
Il s’agira de compresser à travers cette représentation la cause et l’effet.
« La cause de ce théorème, c’est-à-dire la raison pour laquelle il est vrai, réside ultimement dans les propriétés géométriques du triangle rectangle, dont certaines sont précisément mises en évidence par une simple représentation géométrique dans laquelle la cause et l’effet apparaissent intriqués. »
« L’effet des propriétés – le théorème per se – n’est pas directement perceptible si un seul triangle est représenté ». Mais grâce à la représentation visuelle ci-après, ce théorème apparait comme évident. En d’autres termes, cette représentation visuelle, nous permet d’entrevoir l’effet directement dans la cause.
Visuellement si l’on regarde à gauche, on remarque que le carré de l’hypoténuse h, c’est-à-dire h², est équivalent à la surface du carré situé à gauche ayant pour coté h, et que cette surface est égale à la surface du grand carré ayant pour coté C auquel on enlève la surface des 4 triangles rectangle représentés en noir.
Si on regarde à droite, on s’aperçoit qu’un fois que l’on à retiré les surfaces des 4 triangles rectangle équivalentes à celles des 4 triangles rectangle situés à gauche, il reste deux carrés dont les surfaces respectives sont b² et a².
Ainsi, la démonstration visuelle est faite. h² est vraiment égale à la somme de a² et de b². En d’autres termes, le carré de l’hypoténuse est bien égal à la somme des carrés de chacun des deux autres cotés.
Même si cet exemple est simple, il permet d’approcher le concept de projection qui permet par exemple de transformer un énoncé arithmétique ou algébrique en énoncé géométrique.
D’une manière générale, le concept d’intégration conceptuel de Gilles Fauconnier jouera sur la projection d’une structure attachée à un espace mental vers une autre structure qu’il appellera le « Blend », le mélange.
Gilles Fauconnier distinguera entre 4 types de réseaux d’intégration qu’il nommera « simplex, Mirror, single-scope et double-scope ».
Ce petit article n’étant qu’une entrée en matière, nous aborderons prochainement certaines applications du processus d’intégration conceptuelle notamment dans le domaine de la publicité.
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